一、数学悖论

1、介绍有趣的数学悖论，普及数学知识

2、接下来的这个悖论似乎更简单了。有人把它归入数学中对策论的研究范畴。

3、15陈皓然老师将为你支招

4、设想一下，乌龟在阿基里斯前方100米，他的速度是乌龟的10倍，一段时间内，阿基里斯跑了100米，则乌龟爬了10米，乌龟领先他10米；下一段时间内，他跑了10米，而乌龟爬了1米，乌龟又领先阿基里斯1米；依次下去，尽管二者的距离会不断的缩小，但乌龟始终会领先于阿基里斯，最后的冠军也是乌龟。这是不是和大家的认知观不太一样呢？

5、悖论/数学悖论.搜狗百科

6、如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；

7、我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？

8、脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水……你想起数列是个什么鬼了吗？

9、罗素悖论，号称数学大厦的裂缝。现在都没解决，只是绕开了。其他的什么白马黑马悖论，理发师悖论，其实都是罗素悖论的另一种说法而已。

10、对于有些涉及无限的古典悖论，如芝诺悖论中的“阿基里斯悖论和飞矢不动悖论，尽管可以看出其谬误(既：应该用微积分来处理“无限”)，但其逻辑推理方式在当时是基本被认可的，所以在当时是可以称为悖论。但是，微积分出现以后，可以看出芝诺悖论的推理中用有谬误的推理过程，应该归类于谬误。

11、这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？

12、数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来，之所以出现罗素悖论这样的怪物，是由于在集合论中，“集合的集合”这句话不能随便说。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。

13、这个故事类似“自相矛盾”的故事。教徒是不可能回答出路人的问题的。如果回答“能”，说明石头厉害，上帝举不起来石头，但又与上帝无所不能矛盾；如果回答“不能”，也与上帝无所不能矛盾，教徒只能和卖矛和盾的人一样，“哑口无言”。

14、一听不要紧听了还想听？？

15、基于同一性的古希腊著名悖论，引发了赫拉克利特、苏格拉斯、柏拉图等的各种讨论。近代启蒙运动中，英国的两位大哲学家托马斯·霍布斯(ThomasHobbes)、约翰·洛克(JohnLocke)也曾尝试解答这个问题。答案始终是是非非，难以一锤定音。

16、小镇有个爱吹牛的理发师。有一天，理发师夸下海口说：“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子。”

17、凭借高中所学知识足以理解

18、脑洞：对于不刮胡子的女理发师不成立。

19、有人会讲，芝诺悖论和量子力学的关系啊，芝诺悖论和时空是否可以无限细分的关系啊。简单地反驳，如果追不上乌龟的大兄弟和飞不动的箭都存在于一个空间可以无限细分的理想空间里呢？

20、还有一个更令人信服的例子让我们要去禁止除以0，那就是向大家展示这会导致与一个已被接受的事实产生矛盾，这个事实就是。如果除以0被接受，那么就会得到，这显然是一个谬误。这是对的证明：

二、十大数学悖论

1、高等数学(同济版上下册)课件

2、可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，但却突然想到：如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。同学们看他该不该给自己刮脸呢？

3、这类本质型悖论是难以解决的。其解决难度远远超过了谬误型悖论和挑战常识型悖论。

4、哪里可能出错了呢？再一次，当我们违反一条数学规则时，就出现了一个“谬误”这里我们定义a和b中至少有一个是非负数时，才成立。这就意味着按照进行计算的人错了。

5、这个悖论的关键在于：这里的两个单位没有得到恰当的处理，用下面这个例子可以给出最佳的回答：2英尺=24英寸，0.5英尺=6英寸，相乘得到1平方英尺=144平方英寸，即1英尺=12英寸。

6、在女儿高一家长会上的发言

7、现在给大家讲一个故事──当然这也是一个有趣的数学问题：阿溪里斯能追上乌龟吗？

8、如何解释圣彼得堡悖论？知乎网

9、△来源：数据与算法之美▼

10、如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。这就是令整个古希腊震惊一时的谷堆悖论。

11、概述：酒吧里会发生这种情况：如果有人在喝酒，那么每个人都在喝酒。乍看起来是一个人喝酒导致了所有人喝酒。实际上，如果酒吧里至少有一个人没在喝酒，那么按照数学中的实质条件(materialconditional)，对那些没喝酒的人来说，有些人在喝酒，这些人中的每个人都在喝酒，情况依然成立。

12、最有趣的就是理发师悖论。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

13、19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！

14、在古希腊时代，克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯(约公元前6世纪)发现的“说谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的说谎者悖论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的说谎者悖论”。埃利亚学派的代表人物芝诺(约490B.C.—430B.C.)提出的有关运动的四个悖论(二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论)尤为著名，至今仍余波未息。

15、一位老师宣布说，在下一星期的五天内(星期一到星期五)的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。”

16、我教霍尔果斯市莫乎尔的孩子们“学好数学三句话”(有视频)

17、1919年，著名英国数学家罗素编了一个很有趣的“笑话”。

18、世界上有记载的最早的悖论，是公元前五世纪希腊哲学家芝诺提出的关于运动的著名悖论。在我国公元前三世纪的《庄子?天下篇》中，也记载了几条著名的悖论辨题。这些悖论的提出和解决都与数学有关。在数学史上震撼最大的悖论是英国哲学家罗索于1902年提出的“集合论悖论”，它几乎动摇了整个数学大厦的基础，引发了所谓的“第三次数学危机”。这些严肃的论题在许多数学方法论著作、数学史书籍以及有关的读物中都有记载和讨论。

19、阿溪里斯是古希腊传说中善走的神，现在让他和乌龟赛跑。假定他的速度为乌龟的10倍。乌龟先出发，走了公里。阿溪里斯开始追赶它，当阿溪里斯走完这公里时，乌龟又向前走了公里；阿溪里斯再走完这公里时，乌龟又向前走了公里……阿溪里斯的速度再快，走过一段路总得花一段时间，乌龟速度再慢，在这一段时间里也总要再向前走一段路程。这样说来，阿溪里斯是永远追不上乌龟了。同学们，你认为这种说法正确吗？你能说出其中的理由吗？

20、这位母亲细想片刻说到：我想你会吃掉我的孩子！

三、数学悖论

1、分析：倘若他不给自己刮脸，那么他属于“不给自己刮脸的人”，按照他的说法他就要给自己刮脸；倘若他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，按照他的说法就不该给自己刮脸。

2、冯·诺依曼解火车苍蝇题.彭翁成.个人博客.科学网.

3、同学们，这个虔诚的教徒能回答路人的提问吗？

4、芝诺悖论是解决了，但第三次数学危机还没有完全度过。大家为了不让数学届出现混乱和骚动，只能暂时承认目前所有的定理公式都是正确的，这样人类才可以继续走下去！但实际上目前所得到的这些定理公式到底存不存在漏洞，谁也不能确定，就像第三次数学危机还没出现前，大家都认为所有的定理公式都是真理，但第三次数学危机出现后，大家都不知道该之前的定理公式还有多少是能被推翻的，还有多少是可信的！但又没有人有能力证明这些定理公式的真假程度，所以只能暂时搁浅了！所以说，第三次数学危机并没有完全度过！

5、脑洞：理科生们笑到内伤。

6、如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；

7、概述：如果你乘坐哆啦A梦的时光机，回到你爷爷奶奶相遇之前，杀死你的爷爷会发生什么？如果杀死了你的爷爷，那么你就从未诞生；如果你从未诞生，如何回到以前杀死你的爷爷？

8、于是鳄鱼得意地说到：可以，那么你猜猜，我会不会吃掉你的孩子，如果你猜对了，我就把孩子还给你！

9、概述：小城的理发师放出豪言：“我只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸。”那么问题来了，理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺；如果他不给自己刮脸，就必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都说不通。

10、现在的问题是你会怎么办？

11、脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，你值得拥有。

12、现在，修补数学基础的工作尚未取得令人完全满意的结果，数学家们仍在顽强拼搏。

13、考虑的商，其中。在不承认那条除以0的戒律的情况下，让我们推测(猜想)这个商可能等于什么。让我们假设它为p，可以通过乘法看它是否等于n来检验，因为这就是除法运算正确时应该得到的结果。因为，我们知道。因此，不管商p取什么值都不能使这道除法成立，所以我们规定禁止除以0。

14、一年级孩子的读题能力有多重要

15、你能说出为什么这场考试无法进行吗？

16、实质条件的示意图如下：

17、一位学生会会长宣布：在下星期一到星期五的某一天下午开会，但是你们无法提前知道哪一天开会，因为只有到了当天早上的8点钟，我才会通知你们。

18、这个关于时间旅行的悖论源自罗伯特·海因莱因的短篇小说，近来又出现在诺兰导演的《星际穿越》中。

19、大家都知道除以0是被禁止的。事实上，在数学戒律的清单上，这一点高居榜首。不过，为什么不允许除以0呢？数学王国里的万事万物都整齐地各就各位，我们对数学中的秩序和美丽引以为傲。当某件可能破坏这种秩序的事情出现时，我们就直接作出规定以适应我们的需要。这恰恰就是面对除以0的情况时发生的事情。通过解释为什么要提出这些“规则”，大家会对于数学的本质产生一种更加深入的洞察。因此，让我们来为这条戒律赋予某种意义。

20、同济版高等数学(上)视频汇总

四、数学悖论有哪些

1、甲对乙说：“你下面要讲的是‘不’，对不对？请用‘是’或‘不’来回答！”

2、概述：假设无限个球和一个花瓶，现在要进行一系列操作，且每次操作都一样：往花瓶里放10个球，然后取出1个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？

3、这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？

4、大家听了直发笑。有人问他：“理发师先生，您给不给自己刮胡子呢？”

5、十大中国数学之最，你知道几个？

6、三大学派都提出了修补数学基础的方案，由于各执己见，爆发了一场大论战。这场大论战对现代数学发展影响深远，还导致了许多新的数学分支的诞生。

7、伽利略悖论。伽利略认为，正整数中，有些是偶数，有些不是。因此，他就猜测，正整数一定比偶数多。但是每一个正整数乘以2都能得到一个偶数，而每一个偶数除以2都能得到一个正整数，那么从无限的数看来，偶数和正整数都是一一对应的，那么，这就说明，在无穷大的世界里，部分可能等于全体。

8、芝诺(约公元前490～前425)。芝诺以其悖论闻名，他一生曾巧妙地构想出40多个悖论，在流传下来的悖论中以关于运动的四个“无限微妙、无限深邃”的悖论最为著名。他提出这些悖论很可能是为他老师的哲学观点辩护。关老师总把“阿基里斯追龟悖论”挂在嘴边(小脚老太婆)，然而这四个悖论组合在一起有着奇妙的魅力。二分法悖论：任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB中点E。依此类推。这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。所以，该物体永远也到不了终点B。不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。因为在进行

9、悖论：指自相矛盾的命题，这个命题中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。(悖：混乱，相冲突；论：言论，言语。)

10、罗素悖论的出现，说明集合论本身是不完备的；直到1908年，数学家建立起了公理化系统，才让集合论从根本上避免了罗素悖论。

11、从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的“类”。这是连锁(Sorites)悖论中的一个例子，归功于古希腊人Eubulides，后来的怀疑论者不承认它是知识。“Soros”在希腊语里就是“堆”的意思。

12、三门问题，MontyHall问题

13、赫赫有名的罗素悖论，由英国数学家勃兰特·罗素教授于20世纪初提出。这条悖论证明了19世纪的集合论是有漏洞的，几乎改变了数学界20世纪的研究方向。

14、蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动。现在要问，如此下去，蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?

15、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的,每一个悖论解决都是一次数学飞跃.都会一门数学分支出现,所以在中学教育适当讲几个悖论,有助于激发学生兴趣.可以讲讲根号2悖论,理发师悖论,无穷悖论.这些悖论学生基本上可以理解.这样可以活跃课堂教学效果

16、乙同学同样遭遇尴尬。如果回答“是”，也“不”矛盾；如果回答“不”，双重否定表示肯定，应该是“是”，还是与“不”矛盾。

17、有利于帮助学生洞察数学问题的解题过程，培养学生独立思考的能力。

18、孪生子悖论：“孪生子悖论”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得慢。

19、把(2)式带入(3)式，就有，从而。

20、当x=1时，1,2,3,4,…，n这些数中的每一个都等于，这就导致它们全都彼此相等。当然，这不可能是正确的。出于这个原因，我们定义是无意义的。在数学中，为了避免一些荒谬的陈述，我们会做出一些定义，从而使事情有意义或不产生矛盾，正如这里的情况所表明的。

五、数学悖论问题

1、马歇尔悖论就是马歇尔冲突。经济学家马歇尔经济理论中关于规模经济和垄断弊病之间的矛盾的观点。马歇尔认为：自由竞争会导致生产规模扩大，形成规模经济，提高产品的市场占有率，又不可避免地造成市场垄断，而垄断发展到一定程度又必然阻止竞争，扼杀企业活力，造成资源的不合理配置。因此社会面临一种难题：如何求得市场竞争和规模经济之间的有效、合理的均衡，获得最大的生产效率。“马歇尔冲突”适用于收益递增(成本递减)的行业，如电信业、银行业。

2、概述：1是非零的自然数，2是最小的质数，3是第一个奇质数，4是最小的合数等等；如果你找不到这个数字有趣的特征，那它就是第一个不有趣的数字，这也很有趣。

3、兔子和乌龟赛跑，兔子的速度是乌龟的2倍。先乌龟走10米，兔子开始走，兔子走完10米时，乌龟又走了5米，兔子走完5米时，乌龟又走了5米。。。这样，兔子永远也追不上乌龟。这就是悖论。

4、悖论虽然看似荒诞，但却在数学哲学史上产生过重要影响。一些著名的悖论曾使高明的哲学家与数学家为之震惊，为之绞尽脑汁，并引发了人们长期艰难而深入的思考。可以说，悖论的研究对促进数学思想的深化发展是立过汗马功劳的。

5、英国B。A。W。罗素发现“罗素悖论”。罗素的悖论是:设R是一切不属于自身的集合(即不含自身作为元素)所组成的集合，在朴素集合论中这样的R是合法的。R是否属于R?若R属于R，则R是R的元素，于是若R不属于自身，即R不属于R;若R不属于R，则R不是R的元素，于是若R属于自身，即R属于R。这一悖论不仅涉及集合论中最基本的概念“集合”，而且还涉及到集合论中经常使用的一个基本原则，只要承认并使用这个原则和过程，数学中的许多原有结论全部失效。所以，罗素悖论的出现引起了整个数学界的极大震惊，由此引发了数学界的激烈争论，同时又伴随出现了尖锐的哲学思想的论争，导致了第三次数学危机的发生。

6、那么上面这句话是真话还是谎话？如果是真话，那么它应该是谎话；如果是谎话，那么它应该是真话！如论我们如何进行判断，最终终会终于谬误。

7、请听下面的有趣的对话：

8、不过，如果我们用另一种方法对其进行分组，就会得到下式：

9、举例说明易懂：3人住店，要了1间房，每人10块钱，共30块钱，第二天，老板对服务生“说只收他们25”。给了服务生5块钱找给3人，服务生贪心，藏了2块钱，对3人说“老板只收你们27块钱”于是3人各省了1块钱。现在算算账：3人共出27块钱+服务生藏了2块钱=29块钱，还有1块钱却不见了！

10、本文来源：超级数学建模

11、如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；

12、坚持原创，感谢你的关注、分享与鼓励

13、数学中的悖论或者谬误，常常都是因为违反某条数学规则或数学定律而导致的结果。这使得这些悖论成为说明这些规则的优秀载体，因为它们的违规导致了某些相当“奇异”的结果，比如说1=或1=0，简直荒谬！它们显然具有娱乐性，因为它们非常微妙地将我们引向了一个不可能的结论。通向这个怪异结果的每一步看起来似乎都是正确的，这个事实常常令我们倍感困惑。这相当具有激励作用，并且会使结论令人印象深刻得多。

14、概述：一根箭是不可能移动的。飞行过程中的任何瞬间，它都有一个暂时的位置，由此可知一枝动的箭是所有不动的集合。

15、“说谎者悖论”有多种变化形式，下面的几个类似的悖论请同学们一起来试着理解：

16、不是所有……把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：P={A∣A∈A}Q={A∣A￠A}(￠)问,Q∈P还是Q∈Q?若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A￠A的性质,因为Q∈Q,所以Q￠Q,引出矛盾。若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=Φ,所以Q￠Q,还是矛盾。符合以上条件的悖论都可以称之为“罗素悖论”,但还有不是以上形式的……比如“双生子悖论”。

17、概述：如果忒修斯的船上的木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，这艘船还是原来的那艘船吗？

18、谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；

19、理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

20、“飞矢不动”实际上暗示了量子力学的观点。以狭义相对论为背景，物体在静止与运动时是不同的。根据相对论，对于以不同速度移动的物体，观察者会产生不同感受，对周围的世界也会持有不同看法。

六、数学悖论

1、三次数学危机与数学悖论.韩雪涛.人民邮电出版社

2、概率论与数理统计(浙大版)

3、到了1734年，英国大主教贝克莱驳斥微积分理论(本质是反科学)，指出了著名的贝克莱悖论，该悖论把当时微积分中最大缺陷暴露了出来：

4、三门问题及其相关问题(概率)

5、研究和学习悖论的意义：

6、带你一起学习高数，复习考研数学

7、这个悖论被抽象出来，就是集合论中的“自指悖论”。R是所有不包含自身的集合的集合，那么R是否包含R呢？如果包含，则应该不包含；如果不包含，则应该包含。那么到底哪里出了问题呢？是我们的逻辑学？还是集合论本身？

8、这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年，罗素从已被人们公认为数学基础理论的集合论中，按照数学家们通用的逻辑方法，“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。

9、祖父悖论看似杜绝了人为操纵命运的可能，过去无法改变，爷爷一定会在孙子的谋杀中幸存下来；还有种可能是，你进入了另一个平行宇宙，这是你从未生活过的世界，但你的爷爷奶奶却也在这里。

10、那么我们究竟是如何到达目的地的呢？二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题，还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。

11、同样，这也是探究数学边界的一个良好资源。为什么不允许除以0？为什么根式的乘积并不总是等于乘积的根式？这只是众多悖论中的几个问题，揭示这些“滑稽”的结果很有乐趣，而且它们具有很高的研究价值。

12、现在，将(1)式两边乘以我们就得到：

13、悖论：指自相矛盾的命题，这个命题中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。(悖：混乱，相冲突；论：言论，言语。)

14、没想到三年之后，英国数学家、逻辑学家和哲学家——罗素，提出著名的理发师悖论，震惊了整个数学界：

15、{…}是自然数集：

16、罗素悖论即理发师悖论：